I numeri naturali.
Principio di induzione. La somma
dei primi n quadrati. La somma dei primi n cubi,
eccetera.
La somma dei primi n numeri dispari.
Fattoriali ed anagrammi. Anagrammi con ripetizioni. Coefficienti binomiali. Coefficienti
multinomiali. Binomio di Newton. Diseguaglianza di Bernoulli I. Diseguaglianza di Bernoulli II.
Proprieta' dei numeri razionali. Numerabilit\`a dei numeri razionali. Proprieta' dei numeri reali. Irrazionalit\`a della radice di due.
Non numerabilit\`a dei numeri reali.
Densit\`a dei razionali nei numeri reali.
Densit\`a dei numeri
razionali nei reali. Densit\`a delle frazioni decimali e dei numeri diadici.
Assioma dell'elemento separatore.
Estremo superiore e inferiore, massimo e minimo di un sottoinsieme non vuoto dei numeri reali. Le serie.
Serie a termini positivi. Serie convergenti e divergenti.
Serie geometrica. Serie di Mengoli. Convergenza di $\sum 1/k^2$.
Teoremi del confronto, e del
confronto definitivo.
Divergenza della serie armonica.
Il numero e: stima del suo valore.
Osservazione sulla monotonia delle somme parziali legate alla nozione di limite (ancora da fare).
Area dell'insieme di Cantor nel quadrato di lato 1.
Teorema del rapporto e
della radice.
Un esempio in cui si puo' applicare il criterio della
radice ma non il criterio del rapporto.
Esempi principali ed esercizi.
Se la serie
\sum a_n a termini positivi converge, allora per ogni \epsilon >0
la successione (a_n) e' definitivamente minore di \epsilon.
Teorema di condensazione di Cauchy.
Teorema di condensazione di Cauchy. Irrazionalit\`a di e.
Massimo e minimo limite di una successione di numeri reali.
Limite (finito o infinito) di una successione di numeri reali, finito o infinito.
Teorema di unicita' del limite.
Una successione monotona ammette sempre limite, finito o infinito.
Teorema di permanenza del segno per le successioni.
La successione $(1 + 1/n)^n$: monotonia crescente,
esistenza del limite uguale ad e. Monotonia decrescente
della successione $(1 + 1/n)^{n+1}$. Una prima stima
del fattoriale. Criterio del rapporto,
della radice, del rapporto-radice per le successioni. Sottosuccessioni.
Una successione di numeri reali ammette sempre una sottosuccessione
convergente al suo massimo limite, e una convergente al
suo minimo limite. Limiti notevoli. Formula di sommazione per
parti di Abel.
Teorema di Bolzano-Weierstrass
successioni. Successioni di Cauchy.
Criterio di Leibnitz. Riordinamenti delle serie. Serie delle
parti positive e negative. Teorema di Dirichlet sui
riordinamenti di una serie assolutamente convergente.
Funzioni di una variabile reale:
Limiti di funzioni definite su sottoinsiemi di numeri
reali. Equivalence tra la definizione
metrica e la definizione per successioni..
Limiti finiti e infiniti. Esempi di esistenza e
non esistenza dei limiti. Limite della somma,
del prodotto eccetera. Limite del prodotto di una funzione
infinitesima per una limitata.
Compatti di R se e solo se chiusi e limitati di R.
Proprieta' dei limiti: restrizione, localizzazione,
unione, composizione. Continuita' delle funzioni
in un punto e in un insieme. Esempi di funzioni
discontinue.
Ulteriori proprieta' delle funzioni continue.
Continuitaì della funzione composta.
Una funzione discontinua solo su Q. Teorema di Weierstrasss e dei valori intermedi.
Funzioni monotone,
principali proprieta'.
limiti, continuita', continuita' uniforme. Derivabilita e differenziabilita. Massimi e minimi, locali e assoluti. Studio globale del grafico di una funzione.
Funzioni convesse di una variabile: definizione Teoria dell'integrazione secondo Riemann. Metodi di integrazione. Integrali impropri.