Prima Parte: Equazioni Differenziali Ordinarie

1.. Equazioni differenziali ordinarie del 1° ordine:
Esistenza e unicità (locale e globale) di soluzioni per il problema di valori iniziali (problema di Cauchy) per le equazioni e i sistemi del primo ordine.
Sistemi lineari. Esistenza e unicità globale della soluzione per il problema di Cauchy. Integrale generale. Integrale generale del sistema omogeneo associato. Sistema fondamentale di soluzioni. Matrice fondamentale. Metodo di variazione delle costanti.
Sistemi lineari a coefficienti costanti. Matrice esponenziale e sue proprietà.

2. Equazioni differenziali ordinarie di ordine superiore:
Equivalenza con un sistema di equazioni del 1° ordine. Teoremi di esistenza e unicità di soluzioni per il relativo problema di Cauchy.
Equazioni lineari di ordine superiore. Integrale generale. Integrale generale dell' equazione omogenea associata. Criterio di indipendenza lineare di soluzioni: determinante Wronskiano. Metodo di variazione delle costanti (per le equazioni del II ordine).

Seconda Parte: Spazi con prodotto interno e Serie di Fourier

3.  Spazi con prodotto scalare e spazi di Hilbert:
Norma indotta dal prodotto scalare. Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz. Esempi. Prodotto scalare in C[a, b]. Convergenza in media quadratica e sua relazione con la convergenza uniforme. Sistemi ortonormali in uno spazio con prodotto scalare. Definizione e proprietà della proiezione ortogonale su un sottospazio di dimensione finita.
Sistemi ortonormali: Disuguaglianza di Bessel e identità di Parseval. Sistemi ortonormali totali e relativi sviluppi in serie.
Spazi di Hilbert . Esempi: Lo spazio L^2. Ulteriori proprietà dei sistemi ortonormali: Teorema di Fischer-Riesz.

4. Serie di Fourier:
Funzioni periodiche. Funzioni continue a tratti. Ortonormalità del sistema trigonometrico. Polinomi trigonometrici. La somma parziale n-ma della serie di Fourier di f come proiezione ortogonale di f sul sottospazio dei polinomi trigonometrici di grado minore o uguale a n. Convergenza in media quadratica delle serie di Fourier. Identità di Parseval. Teorema di Riemann-Lebesgue. Convergenza puntuale delle  serie di Fourier (enunciato ed esempi). Funzioni di classe C1 a tratti. Convergenza uniforme delle serie di Fourier.

Terza Parte: Equazioni alle Derivate Parziali

5.  Equazioni alle derivate parziali (EDP):
Equazioni lineari del 2° ordine. Equazioni della Fisica  Matematica e problemi associati. Generalità sui problemi al contorno: Relazione col problema omogeneo. Principio di sovrapposizione. Soluzione per serie.

6. Problemi al contorno per le EDP:
Studio dell' unicità  di soluzioni per i problemi di Dirichlet e di Neumann per l'equazione di Poisson. Il problema di Dirichlet in un rettangolo: costruzione della soluzione per separazione di variabili e serie di Fourier. Regolarità della soluzione.
Il problema di Cauchy-Dirichlet per l’equazione del Calore (in una variabile spaziale): costruzione della soluzione per separazione di variabili e serie di Fourier. Regolarità della soluzione. Estensione del metodo all’equazione del Calore in più variabili spaziali. Problemi di Sturm-Liouville.