I numeri naturali. Principio di induzione e applicazioni. La somma dei primi n interi. La somma dei primi n quadrati. La somma dei primi n cubi.
La somma dei primi n numeri dispari. Fattoriali ed anagrammi. Anagrammi con ripetizioni. Coefficienti binomiali. Coefficienti multinomiali. Triangolo di Tartaglia. Binomio di Newton. Diseguagliana di Bernoulli I. Diseguaglianza di Bernoulli II.

I numeri razionali. Numerabilita' dei numeri razionali.

I numeri reali. Irrazionalta' della radice di due. I numeri reali non sono numerabili. Densita' dei razionali nei numeri reali. Densita' delle frazioni decimali nei numeri reali.
Assioma delle'elemento separatore.

Esistenza (e unicita') dell'estremo superiore ed inferiore di un sottoinsieme non vuoto di numeri reali. Massimo e minimo.

Serie a termini positivi. Teoremi del confronto, del rapporto, e della radice. Esempi principali ed esercizi. L'nsieme di Cantor in dimensione due. Il numero e come limite di una serie. Irrazionalita' di e.

Le successioni reali. Successioni monotone.
Successioni limitate superiormente, inferiormente,
limitate. Sottosuccessioni. Definizione di limite. Le sucessioni monotone ammettono limite. principali limiti notevoli. Un altro modo di ottenere il numero e. Massimo e minimo limite.
Teorema del confronto, del rapporto, della radice,
del rapporto-radice, per successioni di numeri reali
positivi. Teoremi di compattezza sequenziale:
Teorema di Bolzano-Weiestrass, con due dimostrazioni. Teorema di Cesaro. Successioni di Cauchy e principali proprieta'. Convergenza delle successioni di Cauchy.

Serie a termini di segno qualunque.
Convergenza assoluta. Principali teoremi di convergenza. Riordinamenti. Prodotto di Cauchy di due serie.

Alcune nozioni di topologia.

Funzioni reali di una variabile reale. La nozione di limite. Funzioni monotone, discontinuita' delle funzioni monotone. Funzioni continue: proprieta' locali; proprieta' globali
per le funzioni continue definite su un intervallo. Continuità delle funzioni composte ed inverse.
Continuita' delle funzioni elementari. Teorema
di Weierstrass, teorema degli zeri e teorema dei valori intermedi.
Funzioni Lipschitziane e uniformemente continue.

Infinitesimi e infiniti.

Calcolo differenziale per lel funzioni di una variabile.
Differenziale, retta tangente al grafico, e derivate di una funzione. Derivate di funzioni elementari. Regole di derivazione. Proprieta' delle funzioni derivabili: i teoremi di Fermat, Rolle e Lagrange. Punti stazionari. Massimi e minimi locali. Derivate di
ordine superiore. Formula di Taylor con il resto
di Lagrange, con il resto di Peano. I teoremi di De L'Hopital. Determinazione del grafico di una funzione.

Funzioni convesse di una variabile reale, principali risultati.

Calcolo integrale per funzioni di una variabile reale: l'integrale di Riemann. Proprieta' dell'integrale. Classi di funzioni integrabili: funzioni monotone, funzioni continue su un intervallo compatto. La ricerca
di una primitiva. Integrale indefinito. Il teorema della media integrale.
Il teorema fondamentale del calcolo integrale. Regole di integrazione. Teorema di integrazione per parti.
Formula di Taylor con il resto integrale. Integrali impropri: integrabilità in senso improprio. Risultati principali sugli integrali impropri.