SPAZI VETTORIALI NELLA FISICA (Spazi a dimensione finita)

Numeri complessi - Rappresentazione cartesiana e polare - Esponenziale complesso: formula di Eulero - Radici n-esime di un numero complesso - Vettori e matrici in campo complesso- Prodotto scalare - Matrici come rappresentazioni di operatori lineari - Autovalori e autovettori - Diagonalizzazione - Matrici hermitiane - Trasformazioni unitarie - Cambiamenti di base in spazi lineari complessi - Problema agli autovalori per matrici hermitiane e unitarie - Funzioni di operatori: l'esponenziale - Proiettori e decomposizione spettrale di una matrice - Strutture vettoriali e principio di sovrapposizione - Matrici di Pauli

SPAZI VETTORIALI NELLA FISICA (Sistemi a infiniti gradi di liberta')

Passaggio da un numero finito ad un numero infinito di gradi di libertà: equazione delle onde e equazione del calore - Classificazione delle equazioni differenziali alle derivate parziali del secondo ordine - Problemi relativi allo sviluppo di Fourier nella ricerca delle soluzioni di equazioni differenziali alle derivate parziali - Spazi funzionali - Operatori differenziali lineari

SPAZI DI HILBERT - SERIE DI FOURIER

Cenni all'integrazione secondo Lebesgue - Prodotto scalare e norma - Spazi L^p - Spazi di Hilbert - Serie di Fourier - Identità di Parseval - Sistemi completi di vettori e spazi separabili - Equazione di D'Alambert in due dimensioni - Serie di Fourier dei segnali "onda quadra" e "dente di sega" - Serie trigonometriche e esponenziali

OPERATORI IN SPAZI A DIMENSIONE INFINITA

Operatori continui, limitati, autoaggiunti- Autovalori e autovettori - Spettro di un operatore - Problema di Sturm-Liouville - Polinomi di Hermite e operatori di creazione/distruzione

TRASFORMATA DI FOURIER

Dalla serie alla trasformata di Fourier - Analisi in frequenza e "principio di indeterminazione" - Proprietà della trasformata di Fourier negli spazi L¹ e L² - Teorema di inversione - Prodotto di convoluzione - Uso della trasformata di Fourier per risolvere equazioni differenziali - Applicazione alla soluzione dell'equazione del calore - Impedenza dei circuiti elettrici e trasformata di Fourier

TRASFORMATA DI LAPLACE

DISTRIBUZIONI e FUNZIONI DI GREEN

Cenni di teoria delle distribuzioni - Funzione delta di Dirac e rappresentazioni esplicite - Funzione theta di Heaviside - "Derivata" di una distribuzione - Funzione di Green di un operatore differenziale lineare - Funzione di Green per l'equazione di Poisson e legge di Gauss - Richiami sul teorema di Gauss e quello di Stokes - Funzione di Green per l'equazione del calore - Calcolo esplicito della soluzione attraverso trasformata di Fourier e convoluzioni

FUNZIONI DI VARIABILE COMPLESSA

Funzioni analitiche - Condizioni di Cauchy-Riemann - Analiticità e armonicità - Integrazione delle funzioni di variabile complessa - Teorema di Cauchy - Rappresentazione integrale di Cauchy - Sviluppi in serie in campo complesso - Serie di potenze - Sviluppi in serie di Taylor e di Laurent - Continuazione analitica (Weierstrass) - Zeri di una funzione olomorfa - Poli e singolarita' essenziali - Teorema dei residui - Calcolo di residui - Singolarità sul cammino di integrazione - Valor principale di un integrale - Lemma di Jordan - Funzioni analitiche polidrome: logaritmo e radice quadrata.